高中数学一组不等式的几何证明专题辅导.doc

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一组不等式的几何证明有下列一道复习题:已知,用不等号从小到大连结下列各式:。本题只要通过变形、代换等代数方法,就可以得到:。如果作进一步探讨,还可以看到一组十分重要且应用广泛的不等式:(*)我们可以给这组不等式几种解释,并用几何方法证明它,使同学们能从中体会它的几何意义。如图1,设梯形ABDC的上底AB的长为b,下底CD的长为a,用四条平行于上、下底的线段去截这个梯形,交两腰于。其中过梯形对角线的交点分梯形为两个相似的小梯形,为梯形的中位线,分梯形为两个面积相等的小梯形。(1)我们先证明:。证明:因为,所以。从而。,故。类似可以得到,。因为,从而,即。故因为梯形与梯形相似,所以,即。故。因为是梯形ABDC的中位线,显然有。若,则有。不妨设,则CA与BD必相交。设交点是P,则。设。因为相似三角形的面积之比等于对应边平方之比,所以,。因为,即,所以。即,故,即。(2)设分别把梯形ABCD的高截成的两条线段的比是,显然有。而,。因为,故,即,从而推出(当且仅当时,等号成立),这就得出不等式(*)的证明。用心 爱心 专心
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王杭娟上传于2019-11-20

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